Trochu kartografie a matematiky

 

Přehled matematických operací podporovaných překladačem

WinKart využívá pro výpočty běžné vzorce z oblasti matematické kartografie. V zobrazovacích rovnicích se mohou vyskytovat následující funkce:

 

Skupina	Funkce
Čísla a konstanty	Pi, Ro (ve stupních)
Operace	+, -, *, /
Goniometrické funkce	sin, cos, tg, cotg
Cyklometrické funkce	arcsin, arccos, arctg
Mocninné funkce	sqr, sqrt, ^
Logaritmické funkce	log, ln
Ostatní funkce	abs, (, )

Program počítá ve stupních, při zadávání číselných údajů je jako oddělovač použita desetinná čárka. Přesnost výpočtu odpovídá přesnosti datového typu double.

Základní vzorce z oblasti matematické kartografie

Zobrazovací rovnice kartografického zobrazení lze obecně zapsat v pravoúhlém nebo polárním  tvaru:

x=f(u,v)                           nebo                   ρ=f(u,v)

y=g (u,v)                                                    ε =g(u,v)

Polární tvar je většinou používán u kuželových a azimutálních zobrazení nebo zobrazení z elipsoidu na kouli.

Vzhledem k tomu, že křivosti ploch ze které zobrazujeme a na kterou zobrazujeme, jsou různé, dochází ke vzniku zkreslení délek, úhlů, ploch.

• Měřítko v poledníku a rovnoběžce na elispoidu

Určíme je ze vztahů:

    

kde

Meridiánový poloměr křivosti elipsoidu je M, příčný poloměr křivosti elipsoidu je N.

• Měřítko v poledníku a rovnoběžce na kouli

Určíme je ze vztahů:

kde

R je poloměr koule. Tyto vztahy jsou poměrně obecné, pro kuželová, azimutální zobrazení a zobrazení z elipsoidu na kouli lze použít následující vztahy:

• Zkreslení úhlu mezi obrazem poledníku a rovnoběžky

Vypočteme ho z následujících vzorců:

 Na elipsoidu:                         

Na kouli:

• Měřítko ploch na elipsoidu

Spočteme ho ze vztahu:

• Měřítko ploch na kouli

Spočteme ho ze vztahu:

Měřítko ploch může být vyjádřeno také pomocí hodnot měřítka v poledníku a měřítka v rovnoběžce.

• Maximální úhlové zkreslení

Mezní hodnotu úhlového zkreslení v bodě určíme:

Kritéria pro hodnocení vlastností kartografických zobrazení

Vlastnosti kartografických zobrazení lze posuzovat buď přímo, tj. podle hodnot kartografických zkreslení, nebo zprostředkovaně, a to za použití některého z řady kritérií. Slouží nejčastěji k posouzení vhodnosti použití zobrazení pro zvolené území nebo při návrhu nového zobrazení. Lokální kritéria posuzují vlastnosti zobrazení diskrétně, a to pouze ve zvoleném bodě. Nelze z nich vyčíst další vlastnosti zobrazení, např. průběh zkreslení v zobrazovaném území. Airyho kritérium Program WinKart pracuje jak s lokálními tak i s globálními (tj. součtovými) kritérii.

•  Airyho lokální kritérium

Představuje střední kvadratické zkreslení délek počítané z extrémních délkových zkreslení a,b.

• Kavrajského lokální kritérium

Určíme ho ze vztahu:

• Globální kritéria

Globální kritéria posuzují vlastnosti zobrazení ve zvoleném intervalu pro u a v. Výsledná hodnota vzniklá integrálním součtem přes danou oblast lépe vystihuje charakteristiky zkreslení. V programu je použit přibližný způsob výpočtu Airyho a Kavrajského globálních kritérií. Numerická hodnota je získána jako aritmetický průměr z lokálních kritérií počítaných s vhodným krokem zeměpisné šířky a délky na zvoleném intervalu.

Postup výpočtů

Postup výpočtů prováděných programem je zobrazen na následujícím schématu:

 

• Numerická derivace

Pro výpočet kartografických zkreslení je nutno spočítat numerické hodnoty derivací zobrazovacích rovnic podle proměnných u a v. Byla použita Stirlingova formule ve tvaru:

     

• Beziérův bikubický plát

Výpočet ekvideformát je prováděn za použití Beziérova bikubického plátu a techniky plátování. Rovnice Beziérova bikubického plátu lze zapsat ve tavru:

 

Bi(u) a Bj(v) jsou Bernsteinovy polynomy: